дифференциальное уравнение с частными производными, описывающее процесс распространения возмущений в некоторой среде. В случае малых возмущений и однородной изотропной среды В. у. имеет вид:
где х, у, z - пространственные переменные, t - время, u = u (х, у, z) - искомая функция, характеризующая возмущение в точке (х, у, z) в момент t, а - скорость распространения возмущения. В. у. является одним из основных уравнений математической физики и широко используется в приложениях. Если u зависит только от двух (одной) пространственных переменных, то В. у. упрощается и называется двумерным (одномерным). В. у. допускает решение в виде "расходящейся сферической волны":
u = f (t - r/a)/r,
где f - произвольная функция, a
Особый интерес представляет так называемое элементарное решение (элементарная волна):
u = δ (t - r/a)/r
(где δ -
Дельта-функция), дающее процесс распространения возмущения, произведённого мгновенным точечным источником (действовавшим в начале координат при
t = 0). Образно говоря, элементарная волна представляет собой "бесконечный всплеск" на окружности
r =
at, удаляющийся от начала координат со скоростью
а с постепенным уменьшением интенсивности. При помощи наложения элементарных волн можно описать процесс распространения произвольного возмущения.
Малые колебания струны описываются одномерным В. у.:
Ж.
Д'Аламбер предложил (1747) метод решения этого В. у. в виде наложения прямой и обратной волн:
u =
f (
x -
at) +
g (
x +
at), а Л.
Эйлер (1748) установил, что функции
f и
g определяются заданием так называемых начальных условий (См.
Начальное условие).
Лит.: Тихонов А. Н. и Самарский А. А., Уравнения математической физики, 3 изд., М., 1966.
П. И. Лизоркин.